2019年漳州九下质检试题倒一压轴（纯函数）

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2019年漳州九下质检试题倒一压轴

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【漳州二检】已知抛物线y=x²+(2m－1)x－2m(－1/2<m≤3/2)，直线l的解析式 为y=(k－1)x+2m－k+2.

(1)若抛物线与y轴交点的纵坐标为－3，试求抛物线的顶点坐标；

(2)试证明：抛物线与直线l必有两个交点；

(3)若抛物线经过点(x₀，－4)，且对于任意实数x，不等式x²+(2m－1)x－2m≥－4都成立；当k－2≤x≤k时，批物线的最小值为2k+1. 求直线l的解析式.

【图文解析】

（第（1）（2）两小题属于常规试题，只给　答案，不做详解）

（1）依题意，得

-2m＝-3，得2m＝3．

所以y=x²+2x-3=( x +1)²-4.

顶点坐标为(-1，-4)．

（2）说明：与交点相关，通常思路：两解析式联立，化为关于x的方程，再利用△的值的符号进行判断．联立抛物线（y=x²+(2m－1)x－2m ）与直线（y=(k－1)x+2m－k+2）的解析，得

x²+(2m-1)x-2m=(k-1)x+2m-k+2．

整理，得

x²+(2m－k)x－4m+k－2=0．

△=(2m－k)²－4(－4m+k－2)

= (2m－k)²+16m－4k+8

＝(2m-k)²+4(2m-k)+4+(8m+4)

=(2m－k+2)²+8m+4.

∵m>－1/2， ∴8m+4>0.

又(2m－k+2)²≥0．

∴△>0．

∴抛物线与直线l必有两个交点.

（3）由“抛物线经过点(x₀，－4)，且对于任意实数x，不等式x²+(2m－1)x－2m≥－4都成立”可知：y_最小值=－4．

解得m＝3/2或m＝－5/2．

又∵－1/2<m≤3/2．∴m＝3/2．

此时抛物线为y=x²+2x－3，

对称轴为直线x＝－1．

根据k的取值，可分为以下三种情况：

①当k≤－1时，如下图示：

抛物线在k－2≤x≤k上，图象下降，y随x增大而减小.  此时当x=k时，y_最小值= k²+2k－3．所以k²+2k－3=2k+1．解得k₁＝2>－1（舍去），k₂＝－2．

对应直线l的解析式为y =－3 x+7；

②当k－2<－1<k，如下图示：

即－1<k <1时，抛物线在k－2≤x≤k上.
y_最小值=－4，即2k+1=－4．

解得k=－5/2<－1 (不合题意，舍去)·

③当k－2≥－1，即k≥1时，如下图示：

抛物线在k-2≤x≤k上,图象上升,随增大而增大,此时当x=k-2时,y_最小值=(k-2)²+2(k-2)-3.所以(k-2)²+2(k-2)-3=2k+1.解得k₁=2+2√2,k₂＝2-2√2<1 (舍去)．

对应直线l：y =(1+2√2)x +3+2√2．

综上所述,直线:y =-3 x +7或y =(1+2√2)x +3+2√2．

【拓展思考】已知抛物线y=x²+(2m－1)x－2m(－1/2<m≤3/2)，点P（m，k）在直线y=2x-3上，当k－2≤x≤k时，批物线的最小值为2k+1.求k取值范围．

（本思考只作为研讨材料使用，其中的数据尚未进行最终确定）

【反思】数形结合是解决此类问题的关键，注意第3小题的分类依据（以对称轴为“基准”）．

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